Question

【題目】已知： 、 、 是同一平面上的三個向量，其中 =（1，2）．
（1）若| |=2 ，且 ∥ ，求 的坐標．
（2）若| |= ，且 +2 與2 ﹣ 垂直，求 與 的夾角θ

Answer 1

【答案】
（1）設

∵ ∥ 且| |=2

∴ ，

∴x=±2

∴ =（2，4）或 =（﹣2，﹣4）

（2）∵（ +2 ）⊥（2 ﹣ ）

∴（ +2 ）（2 ﹣ ）=0

∴2 2+3 ﹣2 2=0

∴2| |2+3| || |cosθ﹣2| |2=0

∴2×5+3× × cosθ﹣2× =0

∴cosθ=﹣1

∴θ=π+2kπ

∵θ∈[0，π]

∴θ=π

【解析】（1）設出 的坐標，利用它與 平行以及它的模等于2 ，待定系數法求出 的坐標．（2）由 +2 與2 ﹣ 垂直，數量積等于0，求出夾角θ的余弦值，再利用夾角θ的范圍，求出此角的大小．
【考點精析】掌握數量積表示兩個向量的夾角和數量積判斷兩個平面向量的垂直關系是解答本題的根本，需要知道設、都是非零向量，，，是與的夾角，則；若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．