Question

(本小題滿分14分)
已知函數（…是自然對數的底數）的最小值為．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）已知且，試解關于的不等式 ；
（Ⅲ）已知且.若存在實數，使得對任意的，都有，試求的最大值．

Answer 1

(1) (2)構造函數運用導數求解最值得到不等式的證明。
(3) 滿足條件的最大整數的值為3．

解析試題分析：解：（Ⅰ）因為，所以，故，
因為函數的最小值為，所以．                ……………… 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.
當時，，……… 5分
故不等式可化為：
，
即，      ……………… 6分
得，
所以，當時，不等式的解為；
當時，不等式的解為．   …………… 8分
（Ⅲ）∵當且時，，
∴.
∴原命題等價轉化為:存在實數，使得不等式對任意恒成立.    …………… 10分
令.
∵，∴函數在為減函數. …………… 11分
又∵，∴.   …………… 12分
∴要使得對，值恒存在，只須．………… 13分
∵，
且函數在為減函數，
∴滿足條件的最大整數的值為3．…… 14分
考點：導數，函數。
點評：本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數與方程思想、數形結合思想等，屬于中檔題。