已知函數
（其中
為常數）.
(Ⅰ)當
時，求函數的單調區間；
(Ⅱ)當
時，設函數
的3個極值點為
，且
.證明：
.
(Ⅰ)單調減區間為
,
；增區間為
.(Ⅱ)詳見解析.
解析試題分析：(Ⅰ)將代入，然后求導便可得其單調區間.
(Ⅱ)我們分以下幾步來分析.
第一步、對求導得：
.顯然
是它的一個極值點，下面我們要弄清楚
應該是
還是
.另兩個極值點便是方程
的根.對這個方程，我們不可能直接解，所以接下來就利用導數研究函數
.
第二步、對求導得：
∴函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增
當
時，
，
.又
，
所以在
上必有一個極值點.
因為，所以
，
，
∴的兩個零點必有一個小于（實際上比
還小），而另一個大于1，
∴
.
∴當時，
是函數的兩個零點，且
.
即有
.這樣問題轉化為在該條件下證明.那么這個不等式如何證呢？
第三步、注意到待證不等式中不含，故考慮消去，找到
之間的關系式.消去有
.
令
，
有零點
.
∴函數在
上遞減，在
上遞增，在
處取得極小值.由于
，所以
.
因為
.
所以要證明
，只需證
.那么這個不等式又如何證明呢？
因為函數在上遞增，所以轉化為證
. 
即證
.
這個不等式，通過構造函數
，再利用導數就很容易證明了.
試題解析：(Ⅰ)求導得：
.
令
可得
.列表如下:
的單調性；
，若函數
在 區間
上有最值，求實數
的取值范圍.
＋
，g（x）＝
ln（2ex）（其中e為自然對數的底數）
}中，a1＝1，
）（n≥2），求證：
＜
＜
．
和
是函數
的兩個極值點，其中
，
．
的取值范圍；
，求
的最大值．注：e是自然對數的底．
，（
且
）.
，令
，試判斷函數
在
上的單調性并證明你的結論；
且
的定義域和值域都是
的最大值；
對
恒成立，求實數
的取值范圍；
，其中
.
，求曲線
在點
處的切線方程；
有三個零點，求
的取值范圍.
.
的極大值和極小值；
時，
恒成立，求
的取值范圍.
的圖像過原點，
，
的導函數為
，且
，
，
的解析式；
的極小值；
和
，使得
和
若存在，求出
時，求曲線
在點
處的切線方程；
的單調區間；
的取值范圍.