Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)， .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸垂直，可得切線的斜率，從而可求 的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即有兩個(gè)不同的根，且的值在根的左、右兩側(cè)符號(hào)相反.

令，討論其性質(zhì)即可得到的取值范圍；

（Ⅲ）令（），則， .

令，討論的性質(zhì)可得以時(shí)， ，即時(shí)， .

試題解析:（（Ⅰ）由得.

因?yàn)榍�線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，

所以，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即有兩個(gè)不同的根，且的值在根的左、右兩側(cè)符號(hào)相反.

令，則，

所以當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí)， ，

所以.即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（Ⅲ）證明：令（），則， .

令，則 ，

因?yàn)?/span>，所以， ， ， ，

所以，即在時(shí)單調(diào)遞增，

又，所以時(shí)， ，即函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增.

所以時(shí)， ，即時(shí)， .