Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在x軸上、半徑為2的圓C位于y軸右側，且與直線 相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓心是（x0，0）（x0＞0），它到直線 的距離是 ，

解得x0=2或x0=﹣6（舍去）

∴所求圓C的方程是（x﹣2）2+y2=4

（2）解：∵點M（m，n）在圓C上

∴（m﹣2）2+n2=4，n2=4﹣（m﹣2）2=4m﹣m2且0≤m≤4

又∵原點到直線l：mx+ny=1的距離

解得

而

∴

∵

∴當 ，即 時取得最大值 ，

此時點M的坐標是 與 ，面積的最大值是

【解析】（1）設圓心是（x0 ， 0）（x0＞0），由直線 于圓相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式可求x0 ， 進而可求圓C的方程（2）把點M（m，n）代入圓的方程可得，m，n的方程，結合原點到直線l：mx+ny=1的距離h＜1可求m的范圍，根據弦長公式求出AB，代入三角形的面積公式，結合二次函數的性質可求最大值
【考點精析】關于本題考查的點到直線的距離公式和圓的標準方程，需要了解點到直線的距離為：；圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程才能得出正確答案．