Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，側面 底面 ，側棱 ，底面 為直角梯形，其中 為 中點.

（1）求證： 平面 ；
（2）求異面直線 與 所成角的余弦值；
（3）線段 上是否存在 ，使得它到平面 的距離為 ？若存在，求出 的值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：在 中 為 中點，所以 .
又側面 底面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：連接 ，

在直角梯形 中， ，有 且 ，所以四邊形 是平行四邊形，所以 .
由（1）知 為銳角，
所以 是異面直線 與 所成的角，
因為 ，在 中， ，所以 ，
在 中，因為 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
所以異面直線 與 所成的角的余弦值為 .
（3）解：假設存在點 ，使得它到平面的距離為 .
設 ，則 ，由（2）得 ，
在 中， ，
所以 ，
由 得 ，所以存在點 滿足題意，此時
【解析】（1）由線面垂直的判定可知，只要證明直線PO垂直平面ABCD中兩條相交線即可證明。
（2）根據題意可知，將兩條異面直線PB、CD平移到同一個起點B，得到的銳角或直角就是所形成的角，再用余弦定理即可求出。
（3）根據V P D Q C = V Q P C D的性質，即可求出。