Question

【題目】已知圓 ，直線
．
（1）求證：對任意的 ，直線 與圓 恒有兩個交點；
（2）求直線 被圓 截得的線段的最短長度，及此時直線 的方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：直線 的方程可化為 ，
由 得 則 恒過點 ，
， 點 在圓 內，
直線 與圓 恒有兩個交點
（2）解： 恒過圓 內一點 ， 當 過 與 垂直時，弦最短，
， 最短弦長 ，
直線 的斜率為 ， ，
的方程為 ，即
【解析】（1）由直線與圓相交的性質可以通過證明點P在圓內即可證明直線與圓C恒有兩個交點。
（2）由條件可知 當 l 過 P 與 P C 垂直時，弦最短，進而可以求出直線的斜率，然后求出直線方程。