Question

【題目】在平面直角坐標系中， 分別為橢圓： 的左、右焦點, 為短軸的一個端點， 是橢圓上的一點，滿足，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是線段上的一點，過點且與軸不垂直的直線交橢圓于兩點，若是以為頂點的等腰三角形，求點到直線距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由已知，設，則， ， ，由此能求出橢圓的方程；（2）設點，（ ），直線的方程為，k≠0，由，得： ，由此利用韋達定理、中點坐標公式、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出點到直線距離的取值范圍.

試題解析：（1）由已知，設，即

∴即 ∴ 得： ①

又的周長為∴ ②

又①②得： ∴ ∴所求橢圓的方程為：

（2）設點,直線的方程為

由 消去，得：

設， 中點為

則 ∴

∴ 即

∵是以為頂點的等腰三角形 ∴ 即

∴

設點到直線距離為，

則 ∴

即點到直線距離的取值范圍是。