Question

若等比數列{a_n}的前n項和S n=3×2n+a（a為常數），則

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

3（4ⁿ-1）

．

Answer 1

分析：由題意可得a₁=S₁=6+a，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×2^n-1，可得a值，進而可得數列{an2}是以a12=9為首項，q²=4為公比的等比數列，代入等比數列的求和公式可得答案．

解答：解：由題意可得：當n=1時，a₁=S₁=6+a，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×2ⁿ-3×2^n-1=3×2^n-1，
由于數列{a_n}為等比數列，故3×2^1-1=6+a，解得a=-3，
故數列{a_n}是以a₁=3為首項，q=2為公比的等比數列，
故數列{an2}是以a12=9為首項，q²=4為公比的等比數列，
故

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

9(1-4n)

1-4

=3（4ⁿ-1）
故答案為：3（4ⁿ-1）

點評：本題考查等比數列的求和公式，涉及等比數列的判定，屬中檔題．