Question

設有數列{a_n}，若存在M＞0，使得對一切自然數n，都有|a_n|＜M成立，則稱數列{a_n}有界，下列結論中：
①數列{a_n}中，a_n=

1

n

，則數列{a_n}有界；
②等差數列一定不會有界；
③若等比數列{a_n}的公比滿足0＜q＜1，則{a_n}有界；
④等比數列{a_n}的公比滿足0＜q＜1，前n項和記為S_n，則{S_n}有界．
其中一定正確的結論有

①③④

．

Answer 1

分析：①數列{a_n}中，a_n=

1

n

，存在M=1＞0，使得對一切自然數n，都有|a_n|＜1成立；
②等差數列，若為常數列，則有界；
③若等比數列{a_n}的通項為a_n=a1qn-1，根據公比滿足0＜q＜1，可得|a_n|＜a₁；
④等比數列{a_n}的前n項和S_n=

a1

1-q

(1-qn)，根據公比滿足0＜q＜1，可得|S_n|＜

a1

1-q

．

解答：解：①數列{a_n}中，a_n=

1

n

，存在M=1＞0，使得對一切自然數n，都有|a_n|＜1成立，故數列{a_n}有界，故命題正確；
②等差數列，若為常數列，則有界，故命題不正確；
③若等比數列{a_n}的通項為a_n=a1qn-1，∵公比滿足0＜q＜1，∴|a_n|＜a₁，∴{a_n}有界，故命題正確；
④等比數列{a_n}的前n項和S_n=

a1

1-q

(1-qn)，∵公比滿足0＜q＜1，∴|S_n|＜

a1

1-q

，∴{S_n}有界，故命題正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題真假的判斷，考查數列的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．