Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，且an=(3n+Sn)對一切正整數n成立

（I）證明：數列{3+an}是等比數列，并求出數列{an}的通項公式；

（II）設，求數列的前n項和Bn；

Answer 1

【答案】解：（I）證明見解析，an=3()；(II) .

【解析】

（I）利用公式得出3+an的遞推式，再利用定義證明，最后再求出數列的通項公式；（II）先求出數列的通項公式，然后根據通項公式特點選擇錯位相減法求出數列的前n項和.

解：（I）由已知得Sn=2an-3n，

Sn+1=2an+1-3(n+1),兩式相減并整理得：an+1=2an+3

所以3+ an+1=2（3+an），又a1=S1=2a1-3，a1=3可知3+ a1=6，進而可知an+3

所以，故數列{3+an}是首項為6，公比為2的等比數列，

所以3+an=6,即an=3()

（II）

設（1）

（2）

由（2）-（1）得