Question

如圖，已知DE⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點。

（I）求證：AF//平面BCE；
（II）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（III）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小。

Answer 1

（I）（II）見試題解析；（III）．

試題分析：（I）要證明線面垂直，就是要在平面BCE中找一條與AF垂直的直線，這條直線容易看出是平面BAF與平面BCE的交線，當然根據已知條件，輔助線可直接取CE中點P，直線BP就是我們要找的平等線；（II）本證面面垂直，先要證線面垂直，先看題中有沒有已知的垂直關系，發現有直線AF與平面CDE垂直，而在（I）的證明中有BP//AF，BP就是我們要找的線面垂直中的線；（III）平面BCE與平面ACD有一個公共點C，依據二面角的定義，要選作出二面角的棱，然后作出平面角，才能求出二面角的大小，但由（I）題中有兩兩垂直的三條直線FA，FP，AD，故我們可建立空間直角坐標系，通過空間向量來求二面角大小．
試題解析：（I）解：取CE中點P，連結FP、BP，∵F為CD的中點，
∴FP//DE，且FP= 又AB//DE，且AB=
∴AB//FP，且AB=FP， ∴ABPF為平行四邊形，∴AF//BP。
又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF//平面BCE。             3分
（II）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE。又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。
又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。                7分
（III）由（II），以F為坐標原點，FA，FD，FP所在的直線分別為x，y，z軸（如圖），建立空間直角坐標系F—xyz.設AC=2，則C（0，—1，0），


顯然，為平面ACD的法向量。
設平面BCE與平面ACD所成銳二面角為
，
即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°。                13分