Question

【題目】已知圓C過點，與y軸相切，且圓心在直線上.

（1）求圓C的標準方程；

（2）若圓C半徑小于2，求經過點且與圓C相切的直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1或（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．

（2）3x﹣4y-4＝0或x＝0．

【解析】

（1）由題意可設圓心坐標為（a，a），又圓C與y軸相切，可得半徑r＝|a|，圓的標準方程設為（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，又圓過點A（2，1），代入解方程即可得到所求圓的方程．

（2）先由條件確定圓的方程，再討論過點（0，-1）且與該圓相切的直線方程斜率不存在時，滿足題意，斜率存在時，設直線方程為y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，由圓心C（1，1），半徑r＝1，知，由此能求出切線方程．

（1）∵圓心在直線x﹣y＝0上，∴設圓心坐標為（a，a），

又圓C與y軸相切，∴半徑r＝|a|，

圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，又圓過點A（2，1），

∴（2﹣a）2+（1﹣a）2＝a2，

即a2﹣6a+5＝0，∴a＝1或a＝5，

∴所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，

或（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．

（2）∵圓C半徑小于2，結合（1）可知圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，過點（0，-1）且與該圓相切的直線方程斜率存在時，直線方程為y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，

∵C（1，1），半徑r＝1，知，解得k．

∴當切線的斜率k存在時，其方程為y＝x﹣1，

即3x﹣4y-4＝0．

當切線的斜率k不存在時，其方程為x＝0．

故切線方程為3x﹣4y-4＝0或x＝0．