Question

已知a，b，c均為正數，證明：a²＋b²＋c²＋²≥6，并確定a，b，c為何值時，等號成立．

Answer 1

見解析

法一：因為a、b、c均為正數，由平均值不等式得
a²＋b²＋c²≥3(abc)，①
≥3(abc)－，②
所以²≥9(abc)－.
故a²＋b²＋c²＋²≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③
所以原不等式成立．
當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立．
當且僅當3(abc)＝9(abc)－時，③式等號成立．
即當且僅當a＝b＝c＝3時，原式等號成立．
法二：因為a，b，c均為正數，由基本不等式得
a²＋b²≥2ab，b²＋c²≥2bc，c²＋a²≥2ac，
所以a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ac.①
同理≥，②
故a²＋b²＋c²＋²≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立，
當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)²＝(bc)²＝(ac)²＝3時，③式等號成立．
即當且僅當a＝b＝c＝3時，原式等號成立．