Question

【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程是.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點，中點為，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1），根據可得，利用雙曲線的定義可得從而得到雙曲線的方程.

（2）設點，利用漸近線的斜率可以得到夾角的余弦為，利用點在雙曲線上又可得為定值，故可得的值.

（3）設，切線的方程為:，證明等價于證明，也就是證明 ，聯立切線方程和雙曲線方程，消元后利用韋達定理可以證明.

(1)設的坐標分別為,

因為點在雙曲線上,所以,即,所以，

在中, ,,所以，

由雙曲線的定義可知: ，

故雙曲線的方程為: .

(2)由條件可知:兩條漸近線分別為；.

設雙曲線上的點,

設的傾斜角為，則，又 ，所以，

故，

所以的夾角為，且.

點到兩條漸近線的距離分別為，.

因為在雙曲線上,所以 ，

所以.

(3)由題意,即證: ,設,

切線的方程為: .

時,切線的方程代入雙曲線中,化簡得:

(，

所以，.

又，

所以.

時,易知上述結論也成立.所以.

綜上, ,所以.