Question

【題目】已知二次函數.

（1）若為偶函數，求在上的值域；

（2）若的單調遞減區間為，求實數a構成的的集合；

（3）若時，的圖像恒在直線的上方，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據偶函數的對稱性，求出，結合函數圖像，即可求出在上的值域；

（2）根據二次函數的單調性，確定對稱軸滿足的條件，即可得出結論；

（3）時，的圖像恒在直線的上方，即，

恒成立，分離參數，轉化為參數與函數的最值關系，或設，分類討論求出時的最小值，進而解不等式，求出參數范圍.

（1）根據題意，函數，

為二次函數，其對稱軸為，

若為偶函數，則，

解可得；則，

又由，則有，

即函數的值域為；

（2）根據題意，函數，

為二次函數，其對稱軸為，

若在區間上是減函數，

則，則，所以a的取值范圍是；

（3）由題意知時，恒成立，

即，

方法一：所以恒成立，

因為，所以，

當且僅當，即時取得“=”，

所以，解得，所以a的取值范圍是.

方法二：令，

所以只需，對稱軸為，

當，即時，，

解得，故；

當，即時，

，

解得，故；

當，即時，，

解得，舍去；

綜上所述，a的取值范圍是.