Question

已知向量，n∈N^*，向量與垂直，且a₁＝1.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若數列{b_n}滿足b_n＝log₂a_n＋1，求數列{a_n·b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

(1);(2)．

試題分析：
解題思路：(1)利用得出數列的遞推式，即得數列是等比數列，求通項即可；（2）利用錯位相減法求和.
規律總結：以平面向量為載體考查數列問題，體現了平面向量的工具性，要靈活選擇向量知識；數列求和的方法主要有：倒序相加法、裂項抵消法、分組求和法、錯位相減法.
試題解析：(1)∵向量p與q垂直，
∴2ⁿa_n＋1－2^n＋1a_n＝0，即2ⁿa_n＋1＝2^n＋1a_n，
∴＝2，∴{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n＝2^n－1.
(2)∵b_n＝log₂a_n＋1，∴b_n＝n，∴a_n·b_n＝n·2^n－1，
∴S_n＝1＋2·2＋3·2²＋4·2³＋…＋n·2^n－1，①
∴2S_n＝1·2＋2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋n·2ⁿ，②
①－②得，
－S_n＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n－1－n·2ⁿ
＝－n·2ⁿ＝(1－n)2ⁿ－1，
∴S_n＝1＋(n－1)2ⁿ.