Question

設正數數列為等比數列，，記.
（1）求和；
（2）證明: 對任意的，有成立.

Answer 1

（1），；（2）詳見解析.

試題分析：（1）對照條件易得等比數列的通項公式，進而得；（2）對于與自然數有關的命題的證明可優先考慮用數學歸納法，用數學歸納法證題時，首先要掌握好數學歸納法證題的規范、完整的證題步驟，而真正的難點和重點是由假設來推導第步，這里要充分地利用假設，若是對于恒等式的證明在利用了假設以后就很容易推導出第步，但是對于不等式的證明在利用了假設以后還不能一下子就推導出第步，還需要對照目標進行適當的放縮處理才能推導出第步，放縮處理是有難度，且需要技巧的，這需要在學習中去積累.
試題解析： （1）依題意可知，又，所以，從而，進而有 ．                                                        4分
（2）證明：①當時，左邊，右邊，因為，所以不等式成立．      5分
②假設當時，不等式成立，即成立．           7分
那么當時，則左邊右邊             12分
所以當時，不等式也成立.
由①、②可得對任意的，都有恒成立．          14分
（另解：此題也可直接用放縮法證明.即用）