Question

直線y＝kx＋b與曲線交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求曲線的離心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（3）當(dāng)｜AB｜＝2，S＝1時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

（1）離心率．（2）當(dāng)時(shí)， S取到最大值1．
（3）或或或．

解析試題分析：（1）轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，明確曲線為橢圓，，進(jìn)一步得到橢圓的離心率.
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由，解得，
將面積用b表示.
（3）由,應(yīng)用弦長(zhǎng)公式，得到｜AB｜＝，
根據(jù)O到AB的距離得到代入上式并整理，解得k,b.
試題解析：（1）曲線的方程可化為：，
∴此曲線為橢圓，，
∴此橢圓的離心率．          4分
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
由，解得，             6分
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， S取到最大值1．           8分
（3）由得， 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   ①
｜AB｜＝        ②
又因?yàn)镺到AB的距離，所以　 ③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式檢驗(yàn)，△＞0 ，
故直線AB的方程是 
或或或．          14分
考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，函數(shù)的最值.