Question

【題目】若直角坐標平面內的兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數的圖像上；②P，Q關于原點對稱，則稱P，Q是函數的一對“友好點對”（點對P，Q與Q，P看作同一對“友好點對”）.已知函數若此函數的“友好點對”有且只有一對，則a的取值范圍是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據原點對稱的性質，求出當﹣4≤x＜0時函數關于原點對稱的函數，條件轉化函數f（x）＝logax，（x＞0）與y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一個交點，作出兩個函數的圖象，利用數形結合結合對數函數的性質進行求解即可．

當﹣4≤x＜0時，函數y＝|x+3|關于原點對稱的函數為﹣y＝|﹣x+3|，即y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），

若此函數的“友好點對”有且只有一對，

則等價為函數f（x）＝logax，（x＞0）與y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一個交點，

作出兩個函數的圖象如圖：

若a＞1，則f（x）＝logax，（x＞0）與y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一個交點，滿足條件，

當x＝4時，y＝﹣|4﹣3|＝﹣1，

若0＜a＜1，要使兩個函數只有一個交點，

則滿足f（4）＜﹣1，

即loga4＜﹣1，得a＜1，

綜上a＜1或a＞1，

即實數a的取值范圍是，

故選：A．