Question

如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC．M、N分別是AD、BE上點，將三角形ADE沿AE折起．下列說法正確的是______．（填上所有正確的序號）
①不論D折至何位置（不在平面ABC內）都有MN∥平面DEC；
②不論D折至何位置都有MN⊥AE；
③不論D折至何位置（不在平面ABC內）都有MN∥AB；
④在折起過程中，一定存在某個位置，使EC⊥AD．

Answer 1

由已知，在未折疊的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD．所以四邊形ABED為平行四邊形，∴DA=EB．折疊后得出圖形如下：
①過M，N分別作AE，BC的平行線，交ED，EC于F，H．連接FH
則

HN

CB

=

EN

EB

，

FM

EA

=

DM

DA

∵AM=BN，∴EN=DM，等量代換后得出HN=FM，
又CB∥EA，∴HN∥FM，
∴四邊形MNHF是平行四邊形．
∴MN∥FH
MN?面CED，HF?面CED．∴MN∥平面DEC． ①正確
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，
∴AE⊥面CED，HF?面CED∴AE⊥HF，∴MN⊥AE；②正確
③MN與AB 異面．假若MN∥AB，則MN與AB確定平面MNAB，
從而BE?平面MNAB，AD?平面MNAB．與BE和AD是異面直線矛盾．③錯誤．
④當CE⊥ED時，EC⊥AD．
這是因為，由于CE⊥EA，EA∩ED=E，
所以CE⊥面AED，AD?面AED．得出EC⊥AD．④正確．
故答案為：①②④．