Question

已知函數，其中是自然對數的底數.
（Ⅰ）求函數的單調區間和極值；
（Ⅱ）若函數對任意滿足，求證：當時，；
（Ⅲ）若，且，求證：

Answer 1

（Ⅰ）在內是增函數，在內是減函數.當時，取得極大值=.
（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

試題分析：（Ⅰ）求出導函數=，然后令=0，解得.畫出，，隨著 變化而變化的表格，即可得出的單調區間和極值；（Ⅱ）先求出，然后令，求出，求出當時，即可得證；（Ⅲ）由得，不可能在同一單調區間內，則根據（Ⅰ）的結論，設，根據（Ⅱ）可知，而，故，即得證.
試題解析：（Ⅰ）∵=，∴=.
令=0，解得.

		2
	＋	0	－
	↗	極大值	↘

∴在內是增函數，在內是減函數.
∴當時，取得極大值=.
（Ⅱ）證明：，,
∴=.
當時，＜0，＞4，從而＜0，
∴＞0，在是增函數.

（Ⅲ）證明：∵在內是增函數，在內是減函數.
∴當，且，，不可能在同一單調區間內.
不妨設，由（Ⅱ）可知，
又，∴.
∵，∴.
∵，且在區間內為增函數，
∴，即