Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形， .

（1）求證：平面平面；

（2）若，試判斷棱上是否存在與點不重合的點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 棱上不存在與點不重合的點，使得直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，把平面平面平面 (2)第（2）問，先利用向量法得到直線與平面所成角的方程，再探究方程的解的情況，從而得到解答.

試題解析：

（1）因為四邊形是平行四邊形， ，所以，

又，所以，所以，

又，且，所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面，

如圖，分別以所在直線為軸、軸，平面內過點且與直線垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，

則

由， ，可得，

所以，

假設棱上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，

設，

則， ，

設平面的法向量為，

則,即，令，可得，

所以平面的一個法向量為，

設直線與平面所成的角為，則

，

整理得，因為，所以，故無解，

所以棱上不存在與點不重合的點，使得直線與平面所成角的正弦值為.