Question

【題目】如圖，已知橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，離心率為．

求橢圓方程；

橢圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線交于原點(diǎn)，且，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）； （2）四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為，最大值為20．.

【解析】

（1）由題意可得a＝4，運(yùn)用離心率公式可得c，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）由題意的對(duì)稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形，運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，可得22，即有四邊形ABCD為菱形，即有AC⊥BD，討論直線AC的斜率為0，可得最大值；不為0，設(shè)出直線AC的方程為y＝kx，（k＞0），則BD的方程為yx，代入橢圓方程，求得A，D的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，由二次函數(shù)的最值求法，可得最小值．

由題意可得，即，

由，可得，，

即有橢圓的方程為；

由題意的對(duì)稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形，

由，可得，

即，

可得，即有四邊形ABCD為菱形，

即有，

設(shè)直線AC的方程為，，則BD的方程為，

代入橢圓方程可得，

可設(shè)，

同理可得，

即有

，

令，

即有，

由，

即有，即時(shí)，取得最小值，且為；

又當(dāng)AC的斜率為0時(shí)，BD為短軸，即有ABCD的周長(zhǎng)取得最大值，且為20．

綜上可得四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為，最大值為20．