Question

（本小題滿分14分）正△的邊長為4，是邊上的高，分別是
和邊的中點，現將△沿翻折成直二面角．
（１）試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；
（２）求二面角的余弦值；
（３）在線段上是否存在一點，使？證明你的結論.
 

Answer 1

解：法一：（I）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF.    ∴AB∥平面DEF.   
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  
 ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD
取CD的中點M，這時EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD       過M作MN⊥DF于點N，連結EN，則EN⊥DF    ∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分
在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=   ………8分
（Ⅲ）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE……………………10分
證明如下：在線段BC上取點P。使，過P作PQ⊥CD與點Q，
∴PQ⊥平面ACD      ∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分
法二：（Ⅱ）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分
平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量為
則 即
所以二面角E—DF—C的余弦值為 …8分
（Ⅲ）在平面坐標系xDy中，直線BC的方程為
設
…………………12分
所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE       …………………………13分
另解：設
又       …………………………12分

把所以在線段BC上存在點P使AP⊥DE                           …………….14分 

略