Question

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分別為PB，BC的中點．

（1）求證：DE∥平面PAC；

（2）求證：DE⊥AD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）利用中位線證得，根據線面平行的判定定理，可證得平面.（2）利用面面垂直的性質定理，證得平面，得到，根據等腰三角形的性質得到，由此證得平面，進而證得.

證明：（1）因為D，E分別為PB，BC的中點，

所以DE∥PC，

又DE平面PAC，PC平面PAC，

故DE∥平面PAC．

（2）因為AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，

因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，

又BC⊥AB，BC平面ABC，所以BC⊥平面PAB，

因為AD平面PAB，所以AD⊥BC，

又PB∩BC=B，PB，BC平面ABC，故AD⊥平面PBC，

因為DE平面PBC，所以DE⊥AD．