Question

設(shè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x 、y都有，
（1）求的值；
（2）若，求、、的值；
（3）在（2）的條件下，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

Answer 1

（1）0       （2）4，9，16         （3）

試題分析：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0
(2）f（1）=1， f(2)=f(1+1)=1+1+2=4  f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9  f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16  
（3）猜想f（n）=，下用數(shù)學(xué)歸納法證明之．
當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1滿足條件
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即f（k）=
則當(dāng)n=k+1時(shí)f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=+1+2k=（k+1）
從而可得當(dāng)n=k+1時(shí)滿足條件
對(duì)任意的正整數(shù)n，都有 f（n）=
點(diǎn)評(píng)：本題目主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用，及利用放縮法證明不等式等知識(shí)的綜合．