Question

設曲線在點處的切線斜率為,且.對一切實數,不等式恒成立(≠0).
(1) 求的值；
(2) 求函數的表達式；
(3) 求證:＞．

Answer 1

(1)  (2)  (3) 要證原不等式，即證因為
所以
=所以

試題分析：（1）由，所以     2分
（2），由，得    3分
                4分
又恒成立，則由恒成立得
，                6分
同理由恒成立也可得:       7分
綜上，，所以       8分
（3）
要證原不等式，即證
因為
所以
=
所以                12分
本小問也可用數學歸納法求證。證明如下：
由
當時，左邊=1，右邊=，左邊>右邊，所以，不等式成立
假設當時，不等式成立，即
當時，
左邊=
由
所以
即當時，不等式也成立。綜上得
點評：函數求解析式采用的是待定系數法，由已知條件找到的關系式，期間將不等式恒成立問題轉化為二次函數性質的考察，第三問在證明不等式時用到了放縮法，這種方法對學生有一定的難度