Question

如圖示，在底面為直角梯形的四棱椎P   ABCD中，AD//BC,ÐABC= 90⁰, PA^平面ABCD，PA= 4，AD= 2，AB=2,BC = 6.

（1）求證：BD^平面PAC ；
（2）求二面角A—PC—D的正切值；
（3）求點D到平面PBC的距離.

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）

試題分析：（1）三角形AOB中，由勾股定理得：BO^AC，即：BD^AC， 又BD^PA，ACÇ PA=A，由線面垂直判定定理可得BD^平面PAC；（2）先作出二面角的平面角，然后在直角三角形中求出正切值；（3）利用等積法，由V_D—PBC = V_P—BDC即可求出點D到平面PBC的距離.
試題解析：解：(1)令BD與AC相交于點O，不難求得：AC=4,BD= 4
由DAOD~DBOC得：BO=×4= 3;AO=×4=;
\ BO²+AO² = (3)²+()²=" 12=" AB²
\由勾股定理得：BO^AC，即：BD^AC， 又BD^PA，ACÇ PA=A，
\ BD^平面PAC          3分
（2）由（1）知：DO^平面PAC，過O作OH^PC于H，連DH，則DH^PC
則ÐDHO就是二面角A—PC—D的平面角， DO=×BD =×4="1" ,
CO=×AC=×4=3， 由RtDPAC~RtDOHC得： =,又PC= =" 8," OH=.tanÐDHO= =.          7分
（3）由V_D—PBC = V_P—BDC可得：h=.         10分