Question

如圖所示，正方體的棱長為1, 分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱、交于，設，，給出以下四個命題：

①平面平面；
②當且僅當時，四邊形的面積最小；
③四邊形周長，是單調函數；
④四棱錐的體積為常函數；
以上命題中真命題的序號為           。

Answer 1

①②④

試題分析：①連結，則由正方體的性質可知，平面，所以平面平面，所以①正確；②連結，因為平面，所以，四邊形的對角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長度最小即可，此時當為棱的中點時，即時，此時長度最小，對應四邊形的面積最小．所以②正確；③因為，所以四邊形是菱形．當時，的長度由大變小．當時，的長度由小變大．所以函數不單調．所以③錯誤；④連結則四棱錐分割為兩個小三棱錐，它們以為底，以分別為頂點的兩個小棱錐．因為的面積是個常數，到平面的距離是個常數，所以四棱錐的體積為常函數，所以④正確．所以選C．