Question

【題目】若集合具有以下性質：（1）且；（2）若，，則，且當時，，則稱集合為“閉集”.

（1）試判斷集合是否為“閉集”，請說明理由；

（2）設集合是“閉集”，求證：若，，則；

（3）若集合是一個“閉集”，試判斷命題“若，，則”的真假，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）否，理由見詳解；（2）證明見詳解；（3）真命題，理由見詳解

【解析】

（1）利用閉集的定義判斷；
（2）利用閉集的定義證明；
（3）利用閉集的定義，先說明中均不含0，1時，，再說明，進而得出，，從而有，可得到，，即得出.

解：（1），

∴集合不是“閉集”，
（2）證明：∵集合是“閉集”，
，
故；

（3）若集合是一個“閉集”，任取，

若中有0或1時，顯然；

若中均不含0，1，由定義可知：，

，

由（2）知，，即．同理可得，
若或，則顯然，
若且，則，
，
，
，
故命題為真命題．