Question

【題目】已知函數（），是的導數.

（1）當時，令，為的導數.證明：在區間存在唯一的極小值點；

（2）已知函數在上單調遞減，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設，，注意到在上單增，再利用零點存在性定理即可解決；

（2）函數在上單調遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構造函數，求導討論的最值即可.

（1）由已知，，所以，

設，，

當時，單調遞增，而，，且在上圖象連續

不斷.所以在上有唯一零點，

當時，；當時，；

∴在單調遞減，在單調遞增，故在區間上存在唯一的極小

值點，即在區間上存在唯一的極小值點；

（2）設，，，

∴在單調遞增，，

即，從而，

因為函數在上單調遞減，

∴在上恒成立，

令，

∵，

∴，

在上單調遞減，，

當時，，則在上單調遞減，，符合題意.

當時，在上單調遞減，

所以一定存在，

當時，，在上單調遞增，

與題意不符，舍去.

綜上，的取值范圍是