Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn).

（1）若直線的斜率為1，，求拋物線的方程；

（2）若拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】試題分析：（1）直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，將韋達(dá)定理和過焦點(diǎn)的弦長公式相結(jié)合可得的值，即可得拋物線的方程；（2）根據(jù)題意得拋物線，直線的方程為聯(lián)立方程組，將轉(zhuǎn)化為，將向量用坐標(biāo)表示即可得，從而可得的值.

試題解析：（1）由題意知，直線的方程為.

聯(lián)立得.

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則.

由拋物線的性質(zhì)，可得，

解得，所以拋物線的方程為.

（2）由題意，得，拋物線，

設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立得.

所以①

因?yàn)?/span>，

所以.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，且方向相同，

所以，

所以，

所以，

代入①，得 解得，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以

.