Question

．已知橢圓的中心在坐標原點，長軸長為,離心率，過右焦點的直線交橢圓于，兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當直線的斜率為1時，求的面積；
（Ⅲ）若以為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，橢圓方程可設為．     ----------------1分
∵長軸長為,離心率，∴．
所求橢圓方程為．                        ----------------4分
（Ⅱ）因為直線過橢圓右焦點，且斜率為，所以直線的方程為．
設，
由     得 ，解得．
∴．        ---------------9分
（Ⅲ）當直線與軸垂直時，直線的方程為，此時小于，為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．
當直線與軸不垂直時，設直線的方程為．
由  可得．
∴．
，

因為以為鄰邊的平行四邊形是矩形.
由得，
.
所求直線的方程為． ----------------13分   

略