Question

已知α、β是三次函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)的兩個極值點，且α∈（0，1），β∈（1，2），則

b-2

a-1

的取值范圍是______．

Answer 1

f′（x）=x²+ax+2b
∵α，β是f（x）的極值點，
所以α，β是x²+ax+2b=0的兩個根
∴α+β=-a，αβ=2b
∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴1＜α+β＜3，0＜αβ＜2
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2
∴

-3＜a＜-1 0＜b＜1

作出不等式組∴

-3＜a＜-1 0＜b＜1

的可行域

b-2

a-1

表示可行域中的點與（1，2）連線的斜率
有圖知，當當點為（-3，1）和（-1，0）時分別為斜率的最小、最大值
所以此時兩直線的斜率分別是

2-1

1--3

=

1

4

，

2-0

1-(-1)

=1
故答案為(

1

4

，1)