Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，分四種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（Ⅱ）分三種情況討論的范圍，分別利用導數研究函數的單調性，利用單調性求出的最小值，即可篩選出符合條件的實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ） ，

令，

①若，，則,當時，，在上單調遞增；

②若，，的兩解分別為且，則有

，

（i）若，,當時，，在上單調遞增；

（ii）若，,當時，，則，在上單調遞減；當時，，則，在上單調遞增；

綜上可知，若，在上單調遞減,在上單調遞增；若，在上單調遞增.

（Ⅱ）①若，由（Ⅰ）可知在上單調遞增，所以符合題意；

②若，，由（Ⅰ）可知在上單調遞增，所以符合題意；

③若，，由（Ⅰ）可知在上單調遞減，所以當時，不符合題意；

綜上可知，.