Question

【題目】如圖，梯形中，∥，，，，將△沿對角線折起，設折起后點的位置為，使二面角為直二面角，給出下面四個命題：① ；②三棱錐的體積為；③平面；④平面平面；其中正確命題的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

取BD中點O，根據面面垂直性質定理得平面，再根據線面垂直判定與性質定理、面面垂直判定定理證得平面以及平面平面；利用錐體體積公式求三棱錐的體積，最后根據反證法說明不成立.

因為，，所以為等腰直角三角形，

因為∥，，

所以,從而為等腰直角三角形，

取BD中點O，連接，如圖，

因為二面角為直二面角，所以平面平面，

因為為等腰直角三角形，所以平面平面,平面,因此平面，所以三棱錐的體積為,②正確；

因為平面，平面，所以，因為，,平面，所以平面；即③正確;

因為平面，平面；所以；由已知條件得,平面,因此平面,因為平面,所以平面平面；即④正確；

如果，而由平面，平面，所以，因為,平面，所以平面；因為平面；即,與矛盾,所以①不正確;

故選：C