Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx．
（1）不等式f（x）＞kx﹣ 對于任意正實數x均成立，求實數k的取值范圍；
（2）是否存在整數m，使得對于任意正實數x，不等式f（m+x）＜f（m）ex恒成立？若存在，求出最小的整數m，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于任意正實數x，不等式f（x）＞kx﹣ 恒成立，

即為k＜lnx+ ，x＞0，

令g（x）=lnx+ ，x＞0，則g′（x）= ﹣ = ，

在（0， ）上，g′（x）＜0，g（x）遞減，

在（ ，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）遞增，

即有g（x）在x= 處取得極小值，且為最小值1﹣ln2，

則k＜1﹣ln2，

故實數k的取值范圍是（﹣∞，1﹣ln2）

（2）解：∵f（m+x）＜f（m）ex恒成立，

∴（m+x）ln（m+x）＜mlnmex，

即 ＜ 恒成立，

令g（x）= ，g′（x）= ，

設p（x）=1+（1﹣x）lnx，p′（x）= ﹣1﹣lnx，而p′（1）=0且p′（x）遞減，

∴x∈（0，1）時，p′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，p′（x）＜0，

故p（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；

又x→0，p（x）→﹣∞，p（1）=1＞0，x→+∞時，p（x）→﹣∞，

由零點的存在定理，p（x）=0在（0，1），（1，+∞）內各有一根x1＜1＜x2，

∴x∈（0，x1），g′（x）＜0，x∈（x1，x2），g′（x）＞0，x∈（x2，+∞），g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，x1）遞增，在（x1，x2）遞減，在（x2，+∞）遞增，

∵p（2）=1﹣ln2＞0，p（3）=1﹣2ln3＜0，故x2∈（2，3），

∴m=3時，g（x）在（3，+∞）遞減，此時，g（3+x）＜g（3）恒成立，

若m=1，2，則g（x2）＞g（m），矛盾，

綜上，存在最小正整數m=3

【解析】（1）對于任意正實數x，不等式f（x）＞kx﹣ 恒成立，即為k＜lnx+ ，x＞0，令g（x）=lnx+ ，x＞0，求出導數，求得單調區間，得到極小值也為最小值，即可得到k的范圍；（2）問題轉化為 ＜ 恒成立，令g（x）= 求出g′（x）= ，設p（x）=1+（1﹣x）lnx，通過討論p（x）的單調性，判斷出g（3+x）＜g（3）恒成立，從而求出滿足條件的m的值即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．