Question

（2010•和平區一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P(2，

3

)滿足：F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點A（2，0）、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解法一：由橢圓C的離心率 e=

2

2

和點F₂在線段PF₁的中垂線上知|F₁F₂|=|PF₂|，由此推出 (2c)2=(

3

)2+(2-c)2，從而可求出橢圓C的方程．
解法二：橢圓C的離心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，先求得線段PF₁的中點為D的坐標，根據線段PF₁的中垂線過點F₂，利用kPF1•kDF2=-1，得出關于c的方程求出c值，最后求得a，b寫出橢圓方程即可；
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用∠NF₂F₁=∠MF₂A得出的斜率關系即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）解法一：橢圓C的離心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），、F₂（c，0），
又點F₂在線段PF₁的中垂線上，∴F₁F₂=PF₂，∴(2c)2=(

3

)2+(2-c)2
解得c=1，a²=2，b²=1，∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（6分）
解法二：橢圓C的離心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），、F₂（c，0），
設線段PF₁的中點為D，∵F₁（-c，0），P(2，

3

)，∴D(

2-c

2

，

3

2

)，
又線段PF₁的中垂線過點F₂，∴kPF1•kDF2=-1，即

3

2+c

•

3 2

2-c 2 -c

=-1⇒c=1，a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（2）由題意，直線l的方程為y=k（x-2），且k≠0，
聯立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=8（1-2k²）＞0，得-

2

2

＜k＜

2

2

，且k≠0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，（*）
∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且由題意∠NF₂A≠90°，∴kMF2+kNF2=0，
又F₂（1，0），∴

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

k(x1-2)

x1-1

+

k(x2-2)

x2-1

=0，
∴2-(

1

x1-1

+

1

x2-1

)=0，整理得2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=0，
將（*）代入得，

16k2-4

1+2k2

-

24k2

1+2k2

+4=0，知上式恒成立，故直線l的斜率k的取值范圍是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)． …（12分）

點評：本小題主要考查橢圓的方程及幾何性質、直線與圓錐曲線的綜合問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．