Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1= ，∠ABC=60°．

（1）證明：AB⊥A1C；
（2）（理）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小．
（文）求此棱柱的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1= ，∠ABC=60°

∴AA1⊥AB，

∵三角形ABC中AB=1，AC= ，∠ABC=60°，

∴由正弦定理得 = ，∠ACB=30°

∴∠BAC=90°，

∴AB⊥AC；

∵AA1∩AC=A

∴AB⊥面A1CA；

∵A1C面A1CA；

∴AB⊥A1C

（2）解：（理）如圖，作AD⊥A1C交A1C于D點，連接BD，

由三垂線定理知BD⊥A1C，

∴∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角．

在Rt△AA1C中，AD= = ，

在Rt△BAD中，tan∠ADB= = ，

∴cos∠ADB= ，

即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值為

（文）此棱柱的體積= = =

【解析】分析1）欲證AB⊥A1C，而A1C平面ACC1A1 ， 可先證AB⊥平面ACC1A1 ， 根據三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，可知AB⊥AA1 ， 由正弦定理得AB⊥AC，滿足線面垂直的判定定理所需條件；（2）（理）作AD⊥A1C交A1C于D點，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A1C，則∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．（文）根據柱體的體積公式求解即可．