Question

【題目】函數(shù)f（x）= 是定義在區(qū)間（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且f（2）= ，
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義法證明f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）= 是定義在區(qū)間（﹣1，1）上的奇函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ ，

∴b=﹣b，

∴b=0

又∵f（2）= = ，

∴a=1，

∴函數(shù)f（x）=

（2）解：證法一：設(shè)任意﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣

=

∴f（x1）＜f（x2）

∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)

證法二：∵函數(shù)f（x）= ，

∴f′（x）= ，

當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，

f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)

（3）解：由題意知f（t﹣1）+f（t）＜0

∴f（t﹣1）＜﹣f（t）

∴f（t﹣1）＜f（﹣t）

∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1

∴0＜t＜

【解析】（1）由函數(shù)f（x）= 是定義在區(qū)間（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且f（2）= ，求出a，b的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；（2）證法一：設(shè)任意﹣1＜x1＜x2＜1，求出f（x1）﹣f（x2），并判斷符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)；證法二：求導(dǎo)，并分析出當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，進(jìn)而得到f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0可化為：﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．