Question

當曲線y=1+

4-x2

與直線kx-y-2k+4=0有兩個相異的交點時，實數k的取值范圍是（　　）

A．(0， 5 12 )

B．( 1 3 ， 3 4 ]

C．( 5 12 ， 3 4 ]

D．( 5 12 ，+∞)

Answer 1

化簡曲線y=1+

4-x2

，得x²+（y-1）²=4（y≥1）
∴曲線表示以C（0，1）為圓心，半徑r=2的圓的上半圓．
∵直線kx-y-2k+4=0可化為y-4=k（x-2），
∴直線經過定點A（2，4）且斜率為k．
又∵半圓y=1+

4-x2

與直線kx-y-2k+4=0有兩個相異的交點，
∴設直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點為B（-2，1），
當直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時，
直線與半圓有兩個相異的交點．
由點到直線的距離公式，當直線與半圓相切時滿足

|-1-2k+4|

k2+1

=2，
解之得k=

5

12

，即k_AD=

5

12

．
又∵直線AB的斜率k_AB=

4-1

2+2

=

3

4

，∴直線的斜率k的范圍為k∈(

5

12

，

3

4

]．
故選：C