Question

【題目】已知函數.

（1）當，求函數的單調區間；

（2）若函數在上是減函數，求的最小值；

（3）證明：當時，.

Answer 1

【答案】(1) 函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

(2) 的最小值為.

(3)證明見解析.

【解析】分析：函數的定義域為，

（1）函數，據此可知函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是

（2）由題意可知在上恒成立.據此討論可得的最小值為.

（3）問題等價于.構造函數，則取最小值.

設，則.由于，據此可知題中的結論成立.

詳解：函數的定義域為，

（1）函數，

當且時，；

當時，，

所以函數的單調遞減區間是，

單調遞增區間是

（2）因在上為減函數，

故在上恒成立.

所以當時，，

又，

故當，即時，.

所以，于是，

故的最小值為.

（3）問題等價于.

令，則，

當時，取最小值.

設，則，

知在上單調遞增，在上單調遞減.

∴.

∵，

∴，

∴

故當時，.