Question

【題目】已知圓,直線被圓所截得的弦的中點為．

（1）求直線的方程；

（2）若直線與圓相交, 求的取值范圍；

（3）是否存在常數,使得直線被圓所截得的弦中點落在直線上？若存在, 求出的值；若不存在,說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）設直線的斜率為則，由題意可得圓心，又弦的中點為，可求得，由可求，從而可求直線的方程；（2）若直線：與圓相交，圓心到直線的距離小于半徑，從而可求得的取值范圍；（3）設直線被圓解得的弦的中點為，由直線與垂直，可得，與聯立可求得，代入直線的方程，求得，驗證即可．

試題解析：（1）圓方程化為標準方程：，則其圓心，半徑，若設直線的斜率為，則，直線的方程為，即．

（2）圓的半徑,要直線與圓相交, 則須有,于是的取值范圍是．

（3）設直線被圓截得的弦的中點為,則直線與垂直, 于是有,整理可得,又點在直線上, , 由,解得,代入直線的方程, 得,于是,故存在滿足條件的常數．