Question

【題目】已知a＞0且a≠1，函數f（x）=loga（x+1）， ，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數F（x）的定義域D及其零點；
（2）試討論函數F（x）在定義域D上的單調性；
（3）若關于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5=0在區間[0，1）內僅有一解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=2f（x）+g（x）= （a＞0且a≠1）

要使函數有意義，則 ，解得﹣1＜x＜1，

∴函數F（x）的定義域為（﹣1，1）．

令F（x）=0，則 …（*）

方程變為 ，（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0

解得x1=0，x2=﹣3．

經檢驗x=﹣3是（*）的增根，∴方程（*）的解為x=0，

∴函數F（x）的零點為0

（2）解：由于函數 在定義域D上是增函數．可得：

①當a＞1時，由復合函數的單調性知：函數f（x）=loga（x+1），

在定義域D上是增函數．

∴函數F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是增函數．

②當0＜a＜1時，由復合函數的單調性知：

函數f（x）=loga（x+1）， ，在定義域D上是減函數．

∴函數F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是減函數

（3）解：問題等價于關于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在區間[0，1）內僅有一解，

①當a＞1時，由（2）知，函數F（x）在[0，1）上是增函數，

∴F（x）∈[0，+∞），

∴只需2m2﹣3m﹣5≥0，

解得：m≤﹣1，或 ．

②當0＜a＜1時，由（2）知，函數F（x）在[0，1）上是減函數，

∴F（x）∈（﹣∞，0]，

∴只需2m2﹣3m﹣5≤0，

解得： ．

綜上所述，當0＜a＜1時： ；

當a＞1時，m≤﹣1，或

【解析】（1）利用對數函數的定義域即可的得出，利用對數的運算法則即可得出函數的零點；（2）通過對a分類討論，利用一次函數、反比例函數、對數函數的單調性即可得出復合函數F（x）的單調性；（3）利用（2）的函數F（x）的單調性可得其值域，進而轉化為即一元二次不等式的解集．
【考點精析】掌握函數的定義域及其求法和函數單調性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．