Question

設雙曲線C：

x2

2

-y2=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線a與雙曲線C交于不同的兩點S、T．
（1）求直線A₁S與直線A₂T的交點H的軌跡E的方程；
（2）設A，B是曲線E上的兩個動點，線段AB的中垂線與曲線E交于P，Q兩點，直線l：x=

1

2

，線段AB的中點M在直線l上，若F（1，0），求

FP

•

FQ

的取值范圍．

Answer 1

（1）設直線A₁S與直線A₂T的交點H的坐標為（x，y），S（x₀，y₀），T（x₀，-y₀）
由A₁、H、S三點共線，得：(x0+

2

)y=y0(x+

2

)…③
由A₂、H、T三點共線，得：(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)…④
聯立③、④，解得x0=

2

x

，y0=

2 y

x

．
∵S（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴

( 2 x )2

2

-(

2 y

x

)2=1．
∴軌跡E的方程為：

x2

2

+y2=1(x≠0，y≠0)．
（2）由（1）知直線AB不垂直于x軸，設直線AB的斜率為k，
M（

1

2

，m）（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，
則1+4mk=0，得：k=-

1

4m

．
此時，直線PQ斜率為k₁=4m，PQ的直線方程為：y-m=4m(x-

1

2

)．
代入橢圓方程消去y，整理得（32m²+1）x²-16m²x+2m²-2=0．
又設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
則：x3+x4=

16m2

32m2+1

，x3x4=

2m2-2

32m2+1

．
∴

FP

•

FQ

=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x₃x₄-（x₃+x₄）+1+（4mx₃-m）（4mx₄-m）
=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)

2m2-2

32m2+1

-(4m2+1)

16m2

32m2+1

+m2+1
=

-13m2-1

32m2+1

令t=1+32m²，
∵點M(

1

2

，m)在橢圓內，∴

( 1 2 )2

2

+m2＜1，
又∵m≠0，
∴0＜m2＜

7

8

，∴1＜t＜29，
則

FP

•

FQ

=-

13

32

-

19

32t

∈(-1，-

99

232

)．
∴，

FP

•

FQ

的取值范圍為(-1，-

99

232

)