Question

【題目】某城市有一直角梯形綠地，其中，km，km．現過邊界上的點處鋪設一條直的灌溉水管，將綠地分成面積相等的兩部分．

（1）如圖①，若為的中點，在邊界上，求灌溉水管的長度；

（2）如圖②，若在邊界上，求灌溉水管的最短長度．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）由面積相等建立等量關系：先確定直角梯形高，求得直角梯形面積，再表示四邊形的面積：分割成一個小直角梯形及一個直角三角形,其中為中點，根據四邊形的面積為直角梯形面積一半，可解得，進而求得（2）易得，進而可得，其中，，根據的面積為直角梯形面積一半，可解得，再由余弦定理可得，利用基本不等式求最值

試題解析：（1）因為，，，

所以，……………………………………2分

取中點，

則四邊形的面積為，

即，

解得，…………………………………………6分

所以(km)．

故灌溉水管的長度為km．……………………8分

（2）

設，，在中，，

所以在中，，

所以，

所以的面積為，

又，所以，即．……………………12分

在中，由余弦定理，得，

當且僅當時，取“”．

故灌溉水管的最短長度為km．……………………………………16分