Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PA∥CE，AB=CEPA，PA⊥平面ABCD.

（1）證明：PE⊥平面DBE；

（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

（1）連結AC，推導出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，從而BD⊥平面APEC，進而BD⊥PE，推導出PE⊥DE，由此能證明PE⊥平面DBE.

（2）以A為原點，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值.

（1）證明：連結AC，∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，

∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面APEC，∵PE平面APEC，

∴BD⊥PE，設AB=1，則AD=1，PA=2，∴PD，

同理解得DE，在梯形PACE中，解得PE，

∴PE2+DE2=PD2，∴PE⊥DE，∵BD∩DE=D，

∴PE⊥平面DBE.

（2）以A為原點，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

令AB=1，則CE=1，AP=2，

∴P(0，0，2)，E(1，1，1)，D(1，0，0)，B(0，1，0)，

(﹣1，﹣1，1)，(﹣1，0，2)，(0，﹣1，2)，

(1，﹣1，0)，設平面DPE的法向量(x，y，z)，

則，取z=1，得(2，﹣1，1)，

設平面BPD的法向量(a，b，c)，

則，取c=1，得(2，2，1)，

設二面角B﹣PD﹣E的平面角為θ，

則，

∴二面角B﹣PD﹣E的正弦值sinθ.