Question

【題目】如圖，過頂點在原點、對稱軸為軸的拋物線上的點作斜率分別為，的直線，分別交拋物線于，兩點.

（1）求拋物線的標準方程和準線方程；

（2）若，證明：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的標準方程為，準線方程為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設出拋物線的標準方程，將點坐標代入，進而可求出拋物線的標準方程；利用準線的計算方法，即可求出準線方程；

（2）求出直線和直線的方程，分別與拋物線方程聯立，求出點和點坐標，利用斜率公式求出直線的斜率，利用點斜式方程寫出直線的方程，并借助，即可求得結果.

（1）設拋物線的標準方程為，，

將代入得，解得，

所以拋物線的標準方程為，準線方程為.

（2）證明：因為直線過點，斜率為，

利用點斜式方程，可得直線的方程為，即，

因為直線過點，斜率為，

利用點斜式方程，可得直線的方程為，即，

聯立，消去y得，.

解得或，

因此點

同理可得.

于是直線的斜率

，又，.

所以直線的方程為，

即，

故直線恒過定點.