Question

【題目】已知三點，，，曲線上任意一點滿足．

（1）求的方程；

（2）動點 在曲線上，是曲線在處的切線．問：是否存在定點使得與都相交，交點分別為，且與的面積之比為常數？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】分析：（1）先求出、的坐標，由此求得||和的值，兩式相等，化簡可得所求；（2）根據直線PA，PB的方程以及曲線C在點Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）處的切線方程， D、E兩點的橫坐標，可得S△PDE和S△QAB的比值，從而求得參數值.

詳解：

（1）依題意可得，

，

由已知得，化簡得曲線C的方程： ,

（2）假設存在點滿足條件，則直線的方程是，直線的方程是，曲線C在點Q處的切線l的方程為:,它與y軸的交點為，由于，因此

①當時，，存在，使得，即l與直線平行，故當時與題意不符

②當時，，所以l 與直線一定相交，分別聯立方程組，

解得的橫坐標分別是

則，又，

有，

又于是

對任意，要使與的面積之比是常數，只需t滿足，

解得，此時與的面積之比為2，故存在，使與的面積之比是常數2.